Montrer que si \(f:[a,+\infty[\to{\Bbb R}\) une fonction continue, positive et décroissante, alors la série \(\displaystyle\sum_{n\geqslant1}f(n)\) et l'intégrale impropre \(\displaystyle\int^{+\infty}_af(t)\,dt\) sont de même nature
(théorème de comparaison série-intégrale)

Séparation de l'intégrale en sommes
On note \(S_n=\displaystyle\sum_{k\geqslant1}^nf(k)\) $$F(n)=\int_1^n f(x)\,dx=\sum^{n-1}_{k=1}\int^{k-1}_k f(x)\,dx$$

Théorème fondamental d'analyse
$$f(k+1)=\int^{k+1}_k f(k+1)\,dx\leqslant\int^{k+1}_kf(x)\,dx=f(k)\int^{k+1}_{k}\,dx=f(k)$$

Conclusion

$$S_n-f(1)\leqslant\sum^{n-1}_{k=1}f(k+1)\leqslant F(n)\leqslant\sum^{n-1}_{k=1}f(x)= S_{n-1}$$

(Théorème fondamental d'analyse)